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关键词:三角形冲孔网 标题:【国际数学竞赛】三角形面积公式知多少？ 来源:知乎 文章内容: 请问：三条边长分别为13，14，15的三角形，其内切圆和外接圆半径是多少？ 不要慌，大家不要疑惑，我们今天的确想分享一下三角形的面积计算公式，而不是内切圆、外接圆的半径问题。那么为什么要问这个问题呢？ 这是因为这个问题和我们今天要讲解三角形面积计算是有紧密联系铝板冲孔板价格的。在很多国际数学竞赛中，比如美国数学竞赛(AMC)，三角形是非常常见且重要的一类图形，考察非常普遍，那么对于三角形面积公式你知道多少呢？ 先看下图： 这里我们罗列了几个计算公式： （1） 二分之一底乘高，这个公式是怎么来的呢？可以用两个一样的三角形拼成一个矩形或者平行四边形，然后除以2就可以了。 （2） ，所以还是二分之一底乘高； （3） 为外接圆半径，这是借助了正弦定理(Law of sine) ，所以 带入公式(2)中，就得到了这个公式。 讲了外接圆我们看看内切圆。 （4） 连结内切圆圆心与三角形的三个顶点，把 分成了三个小三角形，那么 就是我们的半周长乘以内切圆半径。 讲到这，我们就想着解决最开始的问铝板冲孔板价格题了： 请问：三条边长分别为13，14，15的三角形，其内切圆和外接圆半径是多少？ 因为内切圆半径、外接圆半径我们都可以通过面积建立等式，所以现在关键点就是要计算出三角形的面积。对于这样一个三角形，似乎我们前面的公式都不是很好用。 那么我们介绍下面的公式（5）海伦公式 海伦公式证明： 根据余弦定理： ， 三角恒等式： 所以， 带入 中可知： 其中， 为半周长。 有了海伦公式那么任意三角形的面积我们都能够计算了，比如13-14-15，我们带入公式可知面积为84，所以最开始的问题以13-14-15为三边的三角形的内接圆半径为： 内切圆半径为： 。 其实以13-14-15为三边的三角形是由5-12-13与9-12-15两个直角三角形拼接而成的。 对于任意的三角形我们如果要计算其内切圆半径、外接圆半径，我们就可以通过海伦公式 先得到其面积，然后再借助公式 、 得到其内切圆半径或外接圆半径。 当然三角形的面积计算公式还有（6） 可以拆成两个同底不等高的三角形面积之和。 当知道三角形三个顶点的坐标时，我们也可以用（7）Shoelace Theorem 如果再特殊一点，三角形的顶点都在格点上，我们还可以用（8）Picks Theorem 总结： 这里我们介绍了很多种三角形面积的计算公式，在竞赛中我们就根据题目所给的条件选择合适的公式进行计算，有时候我们会有简单的铝板冲孔板价格方法计算，再不济我们还有海伦公式，比如2019-AMC12B-18： 当然，学了这么多三角形的面积计算公式还是要灵活应用，比如计算外接圆半径与内切圆半径时，我们都是通过三角形面积作为中间桥梁得到的。 不知道对于三角形面积大家还有什么想法，欢迎交流沟通~~ 想了解任意四边形面积公式的可看下文： 双木止月Tong：【国际数学竞赛】四边形面积公式知多少？ zhuanlan.zhihu.com 想了解更多国际数学竞赛及课程的知识，可参阅： 双木止月Tong：国际数学竞赛及课程 铝板冲孔板价格